Question

12．已知函数f（x）=|ax-1|
（1）若f（x）≤2的解集为[-3，1]，求实数a的值；
（2）若a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）-f（x-1）≤3-2m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的解集，列出方程求解即可．
（2）利用a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）-f（x-1）≤3-2m成立，化简函数的解析式，通过函数的最小值以及函数的单调性，列出不等式，求解即可．

解答 解：（1）显然a≠0，当a＞0时，解集为：[$-\frac{1}{a}$，$\frac{3}{a}$]，-$\frac{1}{a}=-3$，$\frac{3}{a}=1$，无解；
当a＜0时，解集为：[$\frac{3}{a}$，-$\frac{1}{a}$]，令-$\frac{1}{a}$=1，$\frac{3}{a}=-3$，解得a=-1，
综上a=-1．
（2）a=1时，令h（x）=f（2x+1）-f（x-1）=|2x|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-1，x≤0}\\{3x-2，0＜x≤2}\\{x+2，x＞2}\end{array}\right.$，
由此可知，h（x）在（-∞，0]，上是单调递减，
在[0，+∞）上单调递增，则x=0时，h（x）取得最小值-2，
由题意可知-2≤3-2m，则实数m的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查函数的最值的应用，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．