Question

7．已知函数y=$\frac{1}{2}$x²的图象在点（x₀，$\frac{1}{2}$x₀²）处的切线为l，若l也为函数y=lnx（0＜x＜1）的图象的切线，则x₀必须满足（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x₀＜1
• B． 1＜x₀＜$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$＜x₀＜$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$＜x₀＜2

Answer 1

分析 求出函数y=x²的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得x₀=$\frac{1}{m}$，lnm-1=-$\frac{1}{2}$x₀²，再由零点存在定理，即可得到所求范围．

解答 解：函数y=$\frac{1}{2}$x²的导数为y′=x，
在点（x₀，$\frac{1}{2}$x₀²）处的切线的斜率为k=x₀，
切线方程为y-$\frac{1}{2}$x₀²=x₀（x-x₀），
设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
可得x₀=$\frac{1}{m}$，切线方程为y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m），
令x=0，可得y=lnm-1=-$\frac{1}{2}$x₀²，
由0＜m＜1，可得x₀＜2，且x₀²＞1，
解得x₀＞1，
由m=$\frac{1}{{x}_{0}}$，可得$\frac{1}{2}$x₀²-lnx₀-1=0，
令f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-1，x＞1，
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$＞0，f（x）在x＞1递增，
且f（2）=1-ln2＞0，f（$\sqrt{3}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$ln3-1=$\frac{1}{2}$（1-ln3）＜0，
则有$\frac{1}{2}$x₀²-lnx₀-1=0的根x₀∈（$\sqrt{3}$，2）．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．