Question

3．已知射线OP：y=$\frac{4}{3}$x（x≥0）和矩形ABCD，AB=16，AD=9，点A、B分别在射线OP和x轴非负半轴上，则线段OD长度的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{337}$
• B． 27
• C． $\sqrt{689}$
• D． 29

Answer 1

分析 通过设∠OBA=θ，并用角θ的三角函数值表示点D坐标，利用向量模的计算公式、结合三角函数有界性可得结论．

解答 解：设∠OBA=θ，则∠CBx=$\frac{π}{2}$-θ，∠ABx=π-θ，如图，
由题可知AE=16cosθ，AE=16sinθ，OE=$\frac{AE}{\frac{4}{3}}$=12sinθ，
BF=BCcos（$\frac{π}{2}$-θ）=9sinθ，CF=BCsin（$\frac{π}{2}$-θ）=9cosθ，
则A（12sinθ，16sinθ），B（16sinθ+16cosθ，0），C（25sinθ+16cosθ，9cosθ），
由四边形ABCD是矩形可知D（21sinθ，16sinθ+9cosθ），
因为$|\overrightarrow{OD}{|}^{2}$=441sin²θ+256sin²θ+288sinθcosθ+81cos²θ
=81（sin²θ+cos²θ）+308•2sin²θ+144sin2θ
=81+308•（1-cos2θ）+144sin2θ
=389+144sin2θ-308cos2θ
=389-340sin（2θ-φ）
≤389+340=729，
所以$|\overrightarrow{OD}|$≤27，
故选：B．

点评 本题考查函数最值及其几何意义，考查转化思想，涉及平面向量、三角恒等变换等基础知识，注意解题方法的积累，属于难题．