Question

14．设f^-1（x）为f（x）=$\frac{π}{6}$sinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的反函数，则y=f（x）+f^-1（x）的值域为$[-\frac{7π}{12}，\frac{7π}{12}]$．

Answer 1

分析 求出原函数的值域可得其反函数的定义域，取交集可得函数y=f（x）+f^-1（x）的定义域，再由单调性求得y=f（x）+f^-1（x）的值域．

解答 解：∵f（x）=$\frac{π}{6}sinx$在[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]上为增函数，
∴f（x）的值域为[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]，则其反函数的定义域为[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]，
∴y=f（x）+f^-1（x）的定义域为[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]，
又y=f^-1（x）的单调性相同，
可得y=f（x）+f^-1（x）在[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{6}$]上为增函数．
∴当x=-$\frac{π}{6}$时函数有最小值为$\frac{π}{6}×（-\frac{1}{2}）-\frac{π}{2}=-\frac{7π}{12}$；
当x=$\frac{π}{6}$时函数有最大值为$\frac{π}{6}×\frac{1}{2}+\frac{π}{2}=\frac{7π}{12}$．
∴y=f（x）+f^-1（x）的值域为[$-\frac{7π}{12}，\frac{7π}{12}$]．
故答案为：[$-\frac{7π}{12}，\frac{7π}{12}$]．

点评 本题考查函数的值域，考查函数单调性的性质，明确互为反函数的两个函数具有相同单调性是关键，是中档题．