Question

19．若函数f（x）满足f（x）=f（x+$\frac{3π}{2}$）且f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x）（x∈R），则称函数f（x）为“M函数”．
（1）试判断f（x）=sin$\frac{4}{3}$x是否为“M函数”，并说明理由；
（2）函数f（x）为“M函数”，且当x∈[$\frac{π}{4}$，π]时，f（x）=sinx，求y=f（x）的解析式，并写出在[0，$\frac{3π}{2}$]上的单调递增区间；
（3）在（2）条件下，当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3kπ}{2}$+π]（k∈N）时，关于x的方程f（x）=a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S（k），求S（k）．

Answer 1

分析 （1）由不满足f（$\frac{π}{4}$+x）≠f（$\frac{π}{4}$-x）（x∈R），得f（x）=sin$\frac{4}{3}$x不是“M函数”，
（2）可得函数f（x）的周期T=$\frac{3π}{2}$，f（x）=f（$\frac{π}{2}$-x）（x∈R），
①当x$∈[\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}，\frac{3}{2}kπ+π]$时，f（x）=f（x-$\frac{3}{2}kπ$）=sin（x-$\frac{3}{2}kπ$）
②当x∈[$\frac{3}{2}kπ-\frac{π}{2}，\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}$]时，f（x）=f[$\frac{π}{2}$-（x-$\frac{3}{2}kπ$）]=cos（x-$\frac{3}{2}kπ$）
在[0，$\frac{3π}{2}$]上的单调递增区间：[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，[π，$\frac{3π}{2}$]
（3）由（2）可得函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，π]上的图象，根据图象可得：
①当0$≤a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$或1时，f（x）=a（a为常数）有2个解，其和为$\frac{π}{2}$
②当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）=a（a为常数）有3个解，其和为$\frac{3}{4}π$．
③当$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1$时，f（x）=a（a为常数）有4个解，其和为π
即可得当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3kπ}{2}$+π]（k∈N）时，记关于x的方程f（x）=a（a为常数）所有解的和为S（k），

解答 解：（1）f（x）=sin$\frac{4}{3}$x不是“M函数”．
∵f（$\frac{π}{4}$+x）=sin$\frac{4}{3}（\frac{π}{4}+x）$=sin（$\frac{π}{3}+\frac{4}{3}x$），f（$\frac{π}{4}$-x）=sin$\frac{4}{3}（\frac{π}{4}-x）$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{4}{3}$x）
∴f（$\frac{π}{4}$+x）≠f（$\frac{π}{4}$-x）（x∈R），
∴f（x）=sin$\frac{4}{3}$x不是“M函数”．
（2）∵函数f（x）满足f（x）=f（x+$\frac{3π}{2}$），∴函数f（x）的周期T=$\frac{3π}{2}$
∵f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x）（x∈R），∴f（x）=f（$\frac{π}{2}$-x）（x∈R），
①当x$∈[\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}，\frac{3}{2}kπ+π]$时，f（x）=f（x-$\frac{3}{2}kπ$）=sin（x-$\frac{3}{2}kπ$）
②当x∈[$\frac{3}{2}kπ-\frac{π}{2}，\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}$]时，f（x）=f[$\frac{π}{2}$-（x-$\frac{3}{2}kπ$）]=cos（x-$\frac{3}{2}kπ$）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cos（x-\frac{3}{2}kπ），（\frac{3}{2}kπ-\frac{π}{2}≤x≤\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}）}\\{sin（x-\frac{3}{2}kπ），（\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}≤x≤\frac{3}{2}kπ+π）}\end{array}\right.$
在[0，$\frac{3π}{2}$]上的单调递增区间：[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，[π，$\frac{3π}{2}$]；
（3）由（2）可得函数f（x）在[-$\frac{π}{2}$，π]上的图象为：

 
①当0$≤a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$或1时，f（x）=a（a为常数）有2个解，其和为$\frac{π}{2}$
②当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）=a（a为常数）有3个解，其和为$\frac{3}{4}π$．
③当$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1$时，f（x）=a（a为常数）有4个解，其和为π
∴当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3kπ}{2}$+π]（k∈N）时，记关于x的方程f（x）=a（a为常数）所有解的和为S（k），
则S（k）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}（3{k}^{2}+4k+1），（0≤a＜\frac{\sqrt{2}}{2}或a=1）}\\{\frac{3π}{4}（3{k}^{2}+4k+1），a=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{π（3{k}^{2}+4k+1），\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，属于中档题．