Question

6．设双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的下焦点为F（0，-c），直线y=kx-c与圆x²+y²=a²相切于点M，与双曲线的上支交于点N，若∠MOF=∠MON（O是坐标原点），则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 设双曲线的上焦点为F'，连接NF'，可得NF'与OM平行，即有NF⊥NF'，由中位线定理可得|NF'|=2a，运用双曲线的定义，再由勾股定理和离心率公式，即可得到所求．

解答 解：设双曲线的上焦点为F'，连接NF'，
由直线y=kx-c与圆x²+y²=a²相切于点M，
由OM⊥NF，且∠MOF=∠MON，
可得M为NF'的中点，由中位线定理可得NF⊥NF'，
且|NF|'=2|OM|=2a，
由双曲线的定义可得|NF|=2a+2a=4a，
在直角三角形NFF'中，可得
（2c）²=4a²+（2a+2a）²，
即有4c²=20a²，
由c²=5a²，
即为c=$\sqrt{5}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和中位线定理，以及勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．