Question

2．（A组题）已知直线Ax+By+C=0与⊙O：x²+y²=2交于P、Q两点，若满足A²+B²=2C²，则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=-1．

Answer 1

分析 直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，求出∠POQ的余弦值，即可求得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值．

解答 解：设∠POQ=2θ
圆心到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d²=$\frac{{C}^{2}}{{A}^{2}+{B}^{2}}=\frac{1}{2}$，
cos²θ=$\frac{{d}^{2}}{{r}^{2}}=\frac{1}{4}$，∴$cos2θ=2co{s}^{2}θ-1=-\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=r²cos2θ=2×$（-\frac{1}{2}）$=-1．
故答案为：-1

点评 本题考查平面向量数量积的运算，直线和圆的位置关系的判断以及弦长公式的求解，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键，是基础题．