Question

对于数列{u_n}，若存在常数M＞0对任意n∈N^*恒有：|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M，则称{u_n}是B-数列．
（1）首项为1，公比为-

1

2

的等比数列是否是B-数列？请说明理由．
（2）若数列{a_n}是B-数列，
①证明：{a_n²}也是B-数列；
②令A_n=

a1+a2+…+an

n

，求证：数列{A_n}是B-数列．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设满足题设的等比数列为a_n，则a_n=(-

1

2

)n-1，于是|a_n-a_n-1|=

3

2

×(

1

2

)n-2（n≥2），由此可知首项为1，公比为-

1

2

的等比数列是B-数列；
（2）①证明|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2（M+|a₁|）即可；
②证明|A_k-A_k+1|≤

1

k(k+1)

（|a₁-a₂|+2|a₂-a₃|+…+k|a_k-a_k+1|），即可证明结论．

解答： 解：（1）设满足题设的等比数列为a_n，则a_n=(-

1

2

)n-1．
于是|a_n-a_n-1|=

3

2

×(

1

2

)n-2（n≥2）
|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|=

3

2

[1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1]=3×[1-(

1

2

)n]＜3，
所以所以，该数列是B-数列；
（2）①：|a_n+1|≤|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M+|a₁|，
∴|a_n+1|+|a_n|≤2（M+|a₁|），
又|a_n+1²-a_n²|≤[|a_n+1|+|a_n|]|a_n+1-a_n|≤2（M+|a₁|）|a_n+1-a_n|可得
|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2（M+|a₁|），
所以，{a_n²}也是B-数列；
②因为A_k=

a1+a2+…+ak

k

，
所以|A_k-A_k+1|≤

1

k(k+1)

（|a₁-a₂|+2|a₂-a₃|+…+k|a_k-a_k+1|），
∴

n

k=1

|A_k-A_k+1|≤|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M，
所以，数列{A_n}是B-数列．

点评：本题考查数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，有难度．