Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若f（

π

24

）=

2

sinA，其中A是面积为

3 3

2

的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC和BC的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用三角函数周期公式求得最小正周期，利用三角函数的性质求得函数的最大值．
（2）把x=

π

24

带入函数解析式求得A，然后利用三角形面积公式求得AC，最后根据余弦定理求得BC．

解答： （1）解：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，最大值为

2

．
（2）∵f（

π

24

）=

2

sinA，即

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=sin

π

3

∵A是锐角，
∴A=

π

3

，
∵S=

1

2

AB•AC•sinA=

3 3

2

，
∴AC=3
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AB•AC•cosA=7
∴BC=

7

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质，余弦定理的应用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．