Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

．且过点（3，-1）．
（1）求椭圆C的方徎；
（2）若动点P在直线l：x=-2

2

上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

9 a2 + 1 b2 =1 c2 a2 = a2-b2 a2 =( 6 3 )2

，同此能求出椭圆C的方程．
（2）直线l的方程为x=-2

2

，设P（-2

2

，y₀），y0∈(-

2 3

3

，

2 3

3

)，当y₀≠0时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意知x₁≠x₂，利用点差法l′的方程为y=-

3y0

2 2

(x+

4 2

3

)，从而得到l′恒过定点(-

4 2

3

，0)．当y₀=0时，直线MN为x=-2

2

，由此推导出l′恒过定点(-

4 2

3

，0)．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

．且过点（3，-1），
∴

9 a2 + 1 b2 =1 c2 a2 = a2-b2 a2 =( 6 3 )2

，
解得a²=12，b²=4，
∴椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）∵直线l的方程为x=-2

2

，
设P（-2

2

，y₀），y0∈(-

2 3

3

，

2 3

3

)，
当y₀≠0时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意知x₁≠x₂，
联立

x12 12 + y12 4 =1 x22 12 + y22 4 =1

，
∴

x12-x22

12

+

y12-y22

4

=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

•

x1+x2

y1+y2

，
又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，
∴直线MN的斜率为-

1

3

•

-2 2

y0

=

2 2

3y0

，
又l′⊥MN，∴l′的方程为y-y0=-

3y0

2 2

(x+2

2

)，
即y=-

3y0

2 2

(x+

4 2

3

)，
∴l′恒过定点(-

4 2

3

，0)．
当y₀=0时，直线MN为x=-2

2

，
此时l′为x轴，也过点(-

4 2

3

，0)，
综上，l′恒过定点(-

4 2

3

，0)．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否恒过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．