Question

随着我国新型城镇化建设的推进，城市人口有了很大发展，生活垃圾也急剧递增．据统计资料显示，到2013年末，某城市堆积的垃圾已达到50万吨，为减少垃圾对环境污染，实现无害化、减量化和再生资源化，该市对垃圾进行资源化和回收处理．
（1）假设2003年底该市堆积的垃圾为10万吨，从2003年底到2013年底这十年中，该市每年产生的新垃圾以10%的年平均增长率增长，试求2013年，该市产生的新垃圾约有多少吨？
（2）根据预测，从2014年起该市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，同时政府规划每年处理上年堆积垃圾的20%，现用b₁表示2014年底该市堆积的垃圾数量，b₂表示2015年底该市堆积的垃圾数量，…，b_n表示经过n年后该城市年底堆积的垃圾数量．
①求b₁的值和b_n的表达式；
②经过多少年后，该城市的垃圾数量可以控制在30万吨的范围内．（结果精确到0.1，参考数据：1.1¹¹=2.9，1.1¹⁰=2.6，1.1⁹=2.4，1.1⁸=2.1）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（1）设2004年该城市产生垃圾为x万吨，根据市每年产生的新垃圾以10%的年平均增长率增长，建立方程，利用等比数列的求和公式即可得到结果；
（2）①b₁=50×0.8+3；b_n=50×（

4

5

）ⁿ+3×（

4

5

）^n-1+3×（

4

5

）^n-2+…+3×

4

5

+3；②解不等式15+35×(

4

5

)n≤30，可得(

4

5

)n≤

3

7

，即可得出结论．

解答： 解：（1）设2004年该城市产生垃圾为x万吨，依题意得：10+x+1.1x+1.1²x+…+1.1⁹x=50，…（2分）
所以

1-1.110

1-1.1

x=40，所以x=

0.1

1.110-1

×40=2.5（万吨）…（4分）
所以2013年该城市产生的新垃圾为2.5×1.1⁹=7（万吨）；…（5分）
（2）①b₁=50×0.8+3=43（万吨）；…（6分）
∵b1=50×0.8+3=50×

4

5

+3=43，b2=

4

5

b1+3=50×(

4

5

)2+3×

4

5

+3，bn=

4

5

bn-1+3=(

4

5

)2bn-2+3×(

4

5

)+3…（7分）
所以bn=50×(

4

5

)n+3×(

4

5

)n-1+3×(

4

5

)n-2+…+3×

4

5

+3=50×(

4

5

)n+3×

1-( 4 5 )n

1- 4 5

=50×(

4

5

)n+15(1-(

4

5

)n)=15+35×(

4

5

)n…（9分）
②由题意，15+35×(

4

5

)n≤30，∴(

4

5

)n≤

3

7

，…（10分）
∵(

4

5

)3-

3

7

＞0，(

4

5

)4-

3

7

＜0，f(n)=(

4

5

)n是n的减函数，…（12分）
∴n≥4时，该城市垃圾堆积量会少于30万吨，
∴4年后该城市垃圾量可以控制在30万吨内．…（13分）

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．