Question

9．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{x+1}|，x≤0}\\{|{{{log}_3}x}|，x＞0}\end{array}}$，若方程f（x）-a=0的四个根分别为x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则$\frac{1}{{{x_3}（{{x_1}+{x_2}}）}}$+$x_3^2{x_4}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{7}{6}$，$\frac{1}{2}}$）
• B． （-$\frac{7}{6}$，$\frac{1}{2}}$）
• C． [-1，$\frac{7}{3}}$）
• D． （-1，$\frac{7}{3}}$）

Answer 1

分析 通过作出函数图象可知x₁=x₂=-2、x₃x₄=1，利用图象可知$\frac{1}{3}$≤x₃＜1，通过函数y=$\frac{1}{-2x}$+x在[$\frac{1}{3}$，1）上单调递增，计算即得结论．

解答 解：作函数图象如右图，
∵方程f（x）-a=0的四个根分别为x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁，x₂关于x=-1对称，且0＜x₃＜1＜x₄，
则-log₃x₃=log₃x₄，即log₃（x₃x₄）=0，即x₃x₄=1，
又∵方程f（x）-a=0有四个根，
∴C、D两点必位于直线y=0与y=1之间（可以在y=1上，但不能位于y=0上），
当|log₃x|=1时，可知x=3或$\frac{1}{3}$，故$\frac{1}{3}$≤x₃＜1，1＜x₄≤3，
∴$\frac{1}{{{x_3}（{{x_1}+{x_2}}）}}$+$x_3^2{x_4}$=$\frac{1}{-2{x}_{3}}$+x₃，
令y=$\frac{1}{-2x}$+x，$\frac{1}{3}$≤x＜1，则y′=1+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
即函数y=$\frac{1}{-2x}$+x在[$\frac{1}{3}$，1）上单调递增，
∴$\frac{1}{-2•\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{3}$≤y＜$\frac{1}{-2•1}$+1，即-$\frac{7}{6}$≤y＜$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．