题目内容
18．△ABC中，∠B=60°，b=2$\sqrt{3}$，则△ABC周长的最大值为（ ）| A． | 2 | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | 3$\sqrt{3}$ | D． | 6$\sqrt{3}$ |
分析 由已知可得A+C=120°，结合正弦定理可表示a，c，利用三角函数恒等变换的应用可得△ABC周长l=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sin（A+30°），结合A的范围，利用正弦函数的性质可求△ABC周长的最大值．
解答 解：△ABC中，∵B=60°，b=2$\sqrt{3}$，
∴A+C=120°
由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}sinA}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4sinA，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}sinC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4sinC，
则△ABC周长l=a+b+c=4sinA+4sinC+2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$+4sinA+4sin（120°-A）
=2$\sqrt{3}$+4（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）
=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sin（A+30°），
∵0＜A＜120°，
∴30°＜A+30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+30°）≤1，可得：2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$sin（A+30°）∈（4$\sqrt{3}$，6$\sqrt{3}$]，
∴l的最大值为6$\sqrt{3}$．
故选：D．
点评 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，而辅助角公式及正弦函数的性质的灵活应用是求解问题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
9．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{x+1}|，x≤0}\\{|{{{log}_3}x}|，x＞0}\end{array}}$，若方程f（x）-a=0的四个根分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则$\frac{1}{{{x_3}（{{x_1}+{x_2}}）}}$+$x_3^2{x_4}$的取值范围是（ ）
| A． | [-$\frac{7}{6}$，$\frac{1}{2}}$） | B． | （-$\frac{7}{6}$，$\frac{1}{2}}$） | C． | [-1，$\frac{7}{3}}$） | D． | （-1，$\frac{7}{3}}$） |
10．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（ ）
| A． | $\frac{1}{1000}$ | B． | $\frac{1}{999}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{999}{1000}$ |