Question

4．数列 1，$\frac{3}{{2}^{2}}$，$\frac{4}{{2}^{3}}$，$\frac{5}{{2}^{4}}$，…，$\frac{n+1}{{2}^{n}}$ 的前n项和等于（　　）

• A． S_n=3-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
• B． S_n=3-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$-1-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$
• C． S_n=3-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$
• D． S_n=3-n2ⁿ--$\frac{1}{{2}^{n-2}}$

Answer 1

分析 利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：S_n=1+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$．
故选：A．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．