Question

11．已知函数f（x）=cos²x-sin²x+$\frac{1}{2}$，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=$\sqrt{19}$，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；
（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）函数f（x）=cos²x-sin²x+$\frac{1}{2}$
=cos2x+$\frac{1}{2}$，x∈（0，π），
由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ-$\frac{1}{2}$π≤x≤kπ，k∈Z，
k=1时，$\frac{1}{2}$π≤x≤π，
可得f（x）的增区间为[$\frac{π}{2}$，π）；
（2）设△ABC为锐角三角形，
角A所对边a=$\sqrt{19}$，角B所对边b=5，
若f（A）=0，即有cos2A+$\frac{1}{2}$=0，
解得2A=$\frac{2}{3}$π，即A=$\frac{1}{3}$π，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
化为c²-5c+6=0，
解得c=2或3，
若c=2，则cosB=$\frac{19+4-25}{2×\sqrt{19}×2}$＜0，
即有B为钝角，c=2不成立，
则c=3，
△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．