Question

11．已知函数f（x）=2lnx-ax²．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，0），求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，确定切线的方程，代入点（2，0），即可求a的值；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负求f（x）的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2lnx-ax²，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-2ax，
∴f′（1）=2-2a，
∵f（1）=-a，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+a=（2-2a）（x-1），
代入（2，0），可得a=2-2a，∴a=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）f（x）=2lnx-ax²，f′（x）=$\frac{2（1-a{x}^{2}）}{x}$（x＞0），
①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）=2lnx-ax²的单调增区间[是（0，+∞）；
②当a＞0时，f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$；f′（x）＜0，可得x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
∴f（x）=2lnx-ax²的单调增区间[是（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）；单调减区间是（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，考查函数的单调性，属于中档题．