Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即a_n=3a_n-1，a₁=S₁，利用等比数列的通项公式即可得出．∵由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，b_n+1-b_n=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}-\frac{3}{2}）$，
即a_n=3a_n-1，．
∵a₁=S₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-$\frac{3}{2}$，∴a₁=3．
∴数列{a_n}是等比数列，∴a_n=3ⁿ． 
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1．
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∵T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）3^n-1+（2n-1）3ⁿ，
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-3）3ⁿ+（2n-1）3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2T_n=3+2×（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）3ⁿ⁺¹，
=-6-2（n-1）3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．