Question

10．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，6）如表所示：

试销价格x（元）	4	5	6	7	a	9
产品销量y（件）	b	84	83	80	75	68

已知变量x，y具有线性负相关关系，且$\sum_{i=1}^6{x_i}=39，\sum_{i=1}^6{y_i}=480$，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其线性回归方程分别为：甲y=4x+54；乙y=-4x+106；丙y=-4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．
（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a，b的值；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”．现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检验数据均为“理想数据”的概率．

Answer 1

分析 （1）由变量x，y具有线性负相关关系，知甲是错误的，求出$\overline x=6.5，\overline y=80$，满足方程y=-4x+106，从而乙是正确的，由此能求出a，b．
（2）由计算可得“理想数据”有3个，从检测数据中随机抽取2个，共有15种不同的情形，这两个检测数据均为“理想数据”有3种情形，由此能求出这两个检验数据均为“理想数据”的概率．

解答 解：（1）∵变量x，y具有线性负相关关系，
∴甲是错误的．（2分）
又∵$\sum_{i=1}^6{x_i}=39，\sum_{i=1}^6{y_i}=480$，∴$\overline x=6.5，\overline y=80$，
满足方程y=-4x+106，故乙是正确的．（4分）
由$\sum_{i=1}^6{x_i}=39，\sum_{i=1}^6{y_i}=480$，得a=8，b=90．（6分）
（2）由计算可得“理想数据”有3个，
即（4，90），（6，83），（8，75）．（8分）
从检测数据中随机抽取2个，共有15种不同的情形，
其中这两个检测数据均为“理想数据”有3种情形．（10分）
故所求概率为$P=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$．（12分）

点评 本题考查实数值的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．