Question

对任意两实数a，b，定义运算“*”：a*b=

a，a≥b b，a＜b

，关于函数f（-x）=e^-x*e^x，给出下列四个结论：
①函数f（x）的最小值是e；
②函数f（x）为偶函数；
③函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
④函数f（x）的图象与直线y=ex没有公共点；
其中正确结论的序号是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：求出函数f（x）的解析式，求出函数的最小值判断①的正误；利用奇偶性定义判断②的正误；利用函数的单调性判断③的正误；利用函数的图象的交点判断④的正误．

解答： 解：由题意得，函数f（-x）=e^-x*e^x=

ex，x≥0 e-x，x＜0

∴f（x）=

e-x，x≤0 ex，x＞0

对于①，∵f（0）=e⁰=1，∴f（x）的最小值是1，∴①错误；
对于②，∵f（-x）=e^-x*e^x=e^x*e^-x=f（x），∴f（x）为偶函数，∴②正确；
对于③，当x＞0时，f（x）=e^x是增函数，∴③正确；
对于④，构造函数g（x）=e^x-ex，其中x＞0，当x=1时，g（x）=0，∴函数g（x）有零点，
∴函数f（x）与y=ex有公共点，∴④错误．
所以，正确的结论有②③．
故选：B．

点评：本题考查了新定义的函数的性质以及应用问题，解题时应综合分析题目中的条件和结论，寻找解答问题的途径，是中档题．