Question

2．如图，正方形SG₁G₂G₃中，E，F分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中．
（1）求证：SG⊥平面EFG；
（2）请指出四面体S-EFG中有哪些平面互相垂直；
（3）若M，N分别是SF，GE的中点，求异面直线MN与SE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）折成四面体S-EFG后，SG⊥GE，SG⊥GF，由此能证明SG⊥平面EFG．
（2）面SGE⊥面GEF，面SGE⊥面GEF，面SGE⊥面SGF．
（3）取EF的中点A，连结AM，AN，则∠AMN为异面直线MN与SE所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线MN与SE所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵在折前正方形SG₁G₂G₃中，
SG₁⊥G₁E，SG₃⊥G₃F，
∴折成四面体S-EFG后，SG⊥GE，SG⊥GF，
又∵GE∩GF=G，∴SG⊥平面EFG．
解：（2）∵SG⊥平面EFG，SG?平面SGE，SG?平面SGF，
∴面SGE⊥面GEF，面SGE⊥面GEF，
∵SG⊥GF，SG⊥GE，GF⊥GE，∴面SGE⊥面SGF．
（3）取EF的中点A，连结AM，AN，
∵M是SF的中点，∴MA∥SE，
∴∠AMN为异面直线MN与SE所成的角，
设正方形边长为2a，
又MA=$\frac{1}{2}SE=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，AN=$\frac{1}{2}a$，
取GF中点B，在Rt△MBN中，MN=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
在△MNA中，cos∠AMN=$\frac{M{N}^{2}+M{A}^{2}-N{A}^{2}}{2MN•MA}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
∴异面直线MN与SE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查面面垂直的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．