Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为正方形A₁B₁C₁D₁内部及边上的动点，且BD⊥平面AA₁P，则直线BP与AD₁所成角θ的取值范围是（　　）

• A． 0＜θ≤$\frac{π}{3}$
• B． 0＜θ≤$\frac{π}{2}$
• C． 0≤θ≤$\frac{π}{3}$
• D． 0≤θ≤$\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BP与AD₁所成角θ的取值范围．

解答 解：∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为正方形A₁B₁C₁D₁内部及边上的动点，且BD⊥平面AA₁P，
∴点P在线段A₁C₁上移动，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
当点P在C₁处时，直线BP∥AD₁，此时θ=0；
当点P在A₁处时，A（2，0，0），D₁（0，0，2），B（2，2，0），P（2，0，2），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BP}$=（0，-2，2），
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，$θ=\frac{π}{3}$；
当P为A₁C₁中点时，P（1，1，2），$\overrightarrow{BP}$=（-1，-1，2），
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{BP}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{2+4}{\sqrt{8}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$θ=\frac{π}{6}$．
∴0$≤θ≤\frac{π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．