Question

13．已知函数f（x）=xlnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调的关系即可得到．
（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，即为k＜lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，令g（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到k的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx．
∴f′（x）=1+lnx，
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0；当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＞0．
所以函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增．
（2）由于x＞0，f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，
∴k＜lnx+$\frac{1}{2x}$．
构造函数k（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$．
∴k′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$．
令k′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，k′（x）＜0，当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，k′（x）＞0．
∴函数k（x）在点x=$\frac{1}{2}$处取得最小值，即k（$\frac{1}{2}$）=1-ln2．
因此所求的k的取值范围是（-∞，1-ln2）．

点评 本题考查导数的运用：单调区间、极值和最值，主要考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离和构造函数的方法，考查运算能力，属于中档题．