Question

14．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作圆：x²+y²=$\frac{3}{4}$c²的切线交双曲线左右支分别于A，B两点，且|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|，则双曲线的离心率等于$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，设直线的斜率为$\sqrt{3}$，直线的倾斜角为60°，利用过F₁作圆：x²+y²=$\frac{3}{4}$c²的切线交双曲线左右支分别于A，B两点，且|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|，可得|AF₁|=2a，求出A（a-c，$\sqrt{3}$a），代入双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得e的方程，即可得结论．

解答 解：由题意，设直线的斜率为$\sqrt{3}$，直线的倾斜角为60°，
∵过F₁作圆：x²+y²=$\frac{3}{4}$c²的切线交双曲线左右支分别于A，B两点，且|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|，
∴|AF₁|=2a，
∴A（a-c，$\sqrt{3}$a），
代入双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得$\frac{（a-c）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴（e²-1）（e²-2e）=3
可得e=$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的性质，属于中档题．