Question

7．设函数f（x）=|（a+1）x+2|．
（1）当a=0时，画出函数y=f（x）的图象；
（2）当a＞0时，求方程|（a+1）x+2|=|x+1|+|ax+1|的解集．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=|x+2|，从而作出其图象；
（2）化简可得|ax+1+x+1|=|x+1|+|ax+1|，从而化为（x+1）•（ax+1）≥0，从而分类讨论解得．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=|x+2|，从而作其图象如图，
（2）∵|（a+1）x+2|=|x+1|+|ax+1|，
∴|ax+1+x+1|=|x+1|+|ax+1|，
∴（x+1）•（ax+1）≥0，
①当0＜a＜1时，-$\frac{1}{a}$＜-1，
∴原不等式的解集为（-∞，-$\frac{1}{a}$]∪[-1，+∞）；
②当a=1时，原不等式的解集为R；
③当a＞1时，-$\frac{1}{a}$＞-1，
∴原不等式的解集为（-∞，-1]∪[-$\frac{1}{a}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的化简与绝对值函数的图象的作法，同时考查了绝对值性质的应用及分类讨论的思想应用，化简为（x+1）•（ax+1）≥0是关键．