Question

17．求下列圆的方程：
（1）已知点A（-4，-5），B（6，-1），以线段AB为直径的圆的方程．
（2）过两点C（-1，1）和D（1，3），圆心在x轴上的圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．
（2）设圆心坐标为C（a，0），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程．

解答 解：（1）由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，-3），即圆心的坐标为C（1，-3）．
r=|AC|=$\sqrt{（1+4）^{2}+（-3+5）^{2}}$=$\sqrt{29}$，
故所求圆的方程为：（x-1）²+（y+3）²=29．
（2）设圆心坐标为C（a，0），
∵点A（-1，1）和B（1，3）在圆C上，
∴|CA|=|CB|，即$\sqrt{（a+1）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+（0-3）^{2}}$，
解之得a=2，可得圆心为C（2，0），
半径|CA|=$\sqrt{（2+1）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴圆C的方程为（x-2）²+y²=10．

点评 本题的考点是圆的标准方程，考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，求圆心坐标和半径是求圆的标准方程的关键．