Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x≥1}\\{{e}^{x}，x＜1}\end{array}\right.$．
（1）若f（x）≥1，求x的取值范围；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）讨论当x≥1时，sinx=1，解得x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N；再由x＜1时，解不等式e^x≥1，即可得到所求x的取值范围；
（2）分别讨论x≥1时，x＜1时，结合正弦函数和指数函数的值域，即可得到所求f（x）的值域．

解答 解：（1）当x≥1时，sinx≥1，
但sinx≤1，即有sinx=1，
解得x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即为x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N；
当x＜1时，e^x≥1，可得x≥0，即为0≤x＜1．
综上可得x的取值范围是[0，1）∪{x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N}；
（2）当x≥1时，f（x）=sinx∈[-1，1]；
当x＜1时，f（x）=e^x∈（0，e）．
可得f（x）的值域为[-1，1]∪（0，e）=[-1，e）．

点评 本题考查分段函数的运用：解不等式和求函数的值域，注意运用三角函数的值域和指数函数的值域和单调性，考查运算能力，属于中档题．