Question

12．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|${\overrightarrow a}$|=3，|${\overrightarrow b}$|=2，|${\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|≤4，则$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影长度取值范围是（　　）

• A． [$\frac{9}{8}$，2]
• B． [$\frac{3}{4}$，+∞）
• C． [$\frac{3}{4}$，2]
• D． （0，$\frac{3}{4}$]

Answer 1

分析 求$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$的夹角的范围，代入投影公式计算最值．

解答 解：∵|${\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|≤4，
∴|${\overrightarrow a$|²-4${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$+4|$\overrightarrow b}$|²≤16，
∴9-4${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$+16≤16，
∴${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$≥$\frac{9}{4}$，
设$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$≥$\frac{3}{8}$，
又∵cosθ≤1，
∴$\frac{3}{8}$≤cosθ≤1，
∴$\frac{3}{4}$≤|$\overrightarrow{b}$|cosθ≤2，
故选：C

点评 本题考查了平面向量数量积的运算与应用，求出向量夹角是关键．