Question

9．已知-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜$\frac{π}{2}$，且tanα、tanβ是方程x²+6x+7=0的两个根，则α+β=-$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，即可得到tanα+tanβ及tanα•tanβ的值，然后利用两角和的正切函数公式表示出tan（α+β），把tanα+tanβ及tanα•tanβ的值代入即可求出tan（α+β）的值，由α和β的范围，求出α+β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的度数．

解答 （本题满分为14分）
解：∵tanα+tanβ=-6，tanα•tanβ=7，…（4分）
∵tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{-6}{1-7}$=1，…（8分）
∴tanα＜0，tanβ＜0，
∴-$\frac{π}{2}$＜α＜0，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，…（12分）
∴-π＜α+β＜0，
∴α+β=-$\frac{3π}{4}$．
故答案为：-$\frac{3π}{4}$…（14分）

点评 此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系．熟练掌握公式及关系是解本题的关键，同时在解题时注意角度的范围，属于基础题．