Question

4．已知集合A={x|mx²+2$\sqrt{2}$x-2≤0}，B={x|mx²+2$\sqrt{2}$x+1≥0}，且A∩B有且仅有一个元素，则实数m的取值的集合为{-2}．

Answer 1

分析 由A∩B有且仅有一个元素，得到1≤mx²+2$\sqrt{2}$x≤2，有唯一的解，需要分类讨论，问题得以解决．

解答 解：∵A∩B有且仅有一个元素，
∴1≤mx²+2$\sqrt{2}$x≤2，有唯一的解，
当m=0时，此时A∩B={x|$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$}，不满足题意，
当m≠0时，设f（x）=mx²+2$\sqrt{2}$x，则对称轴为x=-$\frac{\sqrt{2}}{m}$，f（-$\frac{\sqrt{2}}{m}$）=-$\frac{2}{m}$，
若m＞0，则f（x）_min=f（-$\frac{\sqrt{2}}{m}$）=-$\frac{2}{m}$=2，解得m=-1（舍去），
若m＜0，则f（x）_max=f（-$\frac{\sqrt{2}}{m}$）=-$\frac{2}{m}$=1，解得m=-2，
故实数m的取值的集合为{-2}

点评 本题考查了一元二次不等式的问题，以及集合的交集的运算，属于中档题．