Question

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：
（Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为合格产品的数量，求X的分布列和数学期望EX；
（Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布直方图,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意知，合格产品的频率为0.04×5+0.07×5+0.05×5=0.8，得到合格产品的数量为40×0.8=32．X的所有可能取值为0，1，2，结合变量对应的事件写出概率和分布列，得到期望值；
（Ⅱ）从流水线上任取1件产品，合格的概率为0.8，而恰有2件产品合格，则有两件合格，有一件不合格，利用组合数计算出概率即可．

解答： 解：（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.04×5+0.07×5+0.05×5=0.8．     
所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为40×0.8=32．
则X可能的取值为0，1，2
所以P(X=0)=

C 2 8

C 2 40

=

7

195

，P(X=1)=

C 1 8 C 1 32

C 2 40

=

64

195

，P(X=2)=

C 2 32

C 2 40

=

124

195

，
因此X的分布列为

X	0	1	2
P	7 195	64 195	124 195

故X数学期望EX=0×

7

195

+1×

64

195

+2×

124

195

=

312

195

=

8

5

．     
（Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为0.8=

4

5

所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为P=

C

2 3

(

1

5

)(

4

5

)2=

48

125

．

点评：本题考查频率分步直方图和离散型随机变量的分布列和期望以及组合及组合数公式的应用，本题解题的关键是写出每一个范围里的频数，才能利用它来求概率．