Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作ED⊥BE交AB于点D．
（1）求证：AE²=AD•AB；
（2）已知AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AE=2，求EC的长．

Answer 1

分析 （1）证明△AED∽△ABE，即可得出结论；
（2）AE是以BD为直径的圆的切线，取BD中点O连EO则OE⊥AC，可得OE∥BC，即可得出结论．

解答 证明：（1）因为ED⊥BE，
所以∠AED+∠CEB=90°
又因为∠CEB+∠CBE=90°，
所以∠AED=∠CBE
又因为BE平分∠ABC，
所以∠DBE=∠CBE，
所以∠AED=∠DBE．
又因为∠A=∠A，
所以△AED∽△ABE，
所以$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AE}$，
故：AE²=AD•AB  …（5分）
解：（2）由AE²=AD•AB可得：AE是以BD为直径的圆的切线
取BD中点O连EO则OE⊥AC，
又因为BC⊥AC，
所以OE∥BC，
所以$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AO}{OB}$．
又因为AB=$\frac{A{E}^{2}}{AD}$=2$\sqrt{3}$，
所以DB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以AD=DO=OB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以EC=1                                      …（10分）

点评 本题考查直线与圆相切，考查三角形相似的判定与性质，突出考查推理分析与运算能力，属于中档题．