Question

19．设等比数列{a_n}的公比为q，其前n项之积为T_n，并且满足条件：a₁＞1，a₂₀₁₆a₂₀₁₇＞1，$\frac{{a}_{2016}-1}{{a}_{2017}-1}＜0$，给出下列结论：（1）0＜q＜1；（2）a₂₀₁₆a₂₀₁₈-1＞0；（3）T₂₀₁₆是数列{T_n}中的最大项；（4）使T_n＞1成立的最大自然数等于4031，其中正确的结论为（　　）

• A． （2），（3）
• B． （1），（3）
• C． （1），（4）
• D． （2），（4）

Answer 1

分析 由a₁＞1，a₂₀₁₆a₂₀₁₇＞1，$\frac{{a}_{2016}-1}{{a}_{2017}-1}＜0$，可得：a₂₀₁₆＞1，a₂₀₁₇＜1．可得：（1）0＜q＜1；（2）a₂₀₁₆a₂₀₁₈=${a}_{2017}^{2}$＜1；（3）T₂₀₁₆是数列{T_n}中的最大项；（4）T₄₀₃₂=$（{a}_{1}{a}_{4032}）^{2016}$=$（{a}_{2016}{a}_{2017}）^{2016}$＞1，T₄₀₃₃=$（{{a}^{2}}_{2017}）^{2016}$×a₂₀₁₇＜1，即可得出使T_n＞1成立的最大自然数等于4032，即可得出．

解答 解：∵a₁＞1，a₂₀₁₆a₂₀₁₇＞1，$\frac{{a}_{2016}-1}{{a}_{2017}-1}＜0$，
∴a₂₀₁₆＞1，a₂₀₁₇＜1．
∴（1）0＜q＜1，故正确；
（2）a₂₀₁₆a₂₀₁₈=${a}_{2017}^{2}$＜1，故不正确；
（3）T₂₀₁₆是数列{T_n}中的最大项，故正确；
（4）T₄₀₃₂=a₁a₂•…•a₄₀₃₀a₄₀₃₁•a₄₀₃₂=$（{a}_{1}{a}_{4032}）^{2016}$=$（{a}_{2016}{a}_{2017}）^{2016}$＞1，
T₄₀₃₃=a₁a₂•…•a₄₀₃₀a₄₀₃₁•a₄₀₃₂•a₄₀₃₃=$（{{a}^{2}}_{2017}）^{2016}$×a₂₀₁₇＜1，
∴使T_n＞1成立的最大自然数等于4032，故不正确．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．