Question

14．已知函数f（x）=2x³+ax²+6在x=1时取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用函数的导数，f′（1）=0，求得a的值；
（2）令f′（x）=0，求出函数的极值点，根据导函数的正负判断函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）f（x）=2x³+ax²+6，f′（x）=6x²+2ax，
由f（x）在x=1时取得极值，即f′（1）=0，
∴6+2a=0，
∴a=-3，
（2）f（x）=2x³-3x²+6，f′（x）=6x²-6x，
令f′（x）=0，解得：x=0或x=1，
当f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，
当f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	2	↘	1	↗

∴函数f（x）的单调递增区间（-∞，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．

点评 本题考查函数的极值点以及函数的单调性的应用，考查利用导数研究函数单调与极值，考查计算能力，属于中档题．