Question

15．已知函数f（x）的定义域为R，且f（1）=2．对任意x∈R，有f'（x）＜1，则不等式f（2x）＜2x+1的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 先构造函数F（x）=f（x）-x，根据条件求出函数F（x）的单调性，结合不等式f（2x）-2x＜f（1）-1，变形得到F（2x）＜F（1），根据单调性解之即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-x，则
F'（x）=f'（x）-1＜0，
∴函数F（x）在R上单调递减函数，
∵f（2x）＜2x+1，
∴f（2x）-2x＜f（1）-1即F（2x）＜F（1）
根据函数F（x）在R上单调递减函数可知2x＞1，
解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解决本题的关键是构造法的运用，属于中档题．