Question

13．已知F为抛物线C：y²=2x的焦点，点E在射线l：x=-$\frac{1}{2}$（y≥0）上，线段EF的垂直平分线与l交于点Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），与抛物线C交于点P，则△PEF的面积为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由抛物线方程求出焦点坐标，设出E的坐标（-$\frac{1}{2}$，m），利用EF和QP垂直求得m的值，则EF、QP的方程可求，求出EF的长度，求出P的坐标，由三角形的面积公式求得△PEF的面积．

解答 解：如图，
由抛物线方程为y²=2x，得F（$\frac{1}{2}$，0），设E（-$\frac{1}{2}$，m）（m＞0），
则EF中点为G（0，$\frac{m}{2}$），k_EF=-m，
又Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴k_QG=$\frac{\frac{3}{4}-\frac{m}{2}}{-\frac{1}{2}-0}$=$\frac{2m-3}{2}$，
由k_EF•k_QG=-1，即-m•$\frac{2m-3}{2}$=-1，解得：m=2．
∴E（-$\frac{1}{2}$，2），
则|EF|=$\sqrt{（-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$，直线EF的方程为$\frac{y-0}{2-0}$=$\frac{x-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}$，化为一般式得：2x+y-1=0．
QG所在直线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$x，即x-2y+2=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即P（2，2），
∴P到直线EF的距离为d=$\frac{丨2×2+2-1丨}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
则△PEF的面积为S=$\frac{1}{2}$×d×|EF|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线的与平面解析式的综合应用．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，属于中档题．