Question

若函数f（x）=

1

2

x²-2ln（x+1）在其定义域的一个子区间（k，k+

1

2

）上不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，+∞）
• B、[0，

  1

  2

  ）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、[0，1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）在其定义域的一个子区间（k，k+

1

2

）上不是单调函数的意思是：一、区间（k，k+

1

2

）是函数定义域的子集，二、区间（k，k+

1

2

）的端点应该落在函数f（x）的两个不同的单调区间内．列出满足的不等式组，从而解出k的取值范围．

解答： 解：函数的定义域为（-1，+∞），
f′(x)=x-

2

x+1

=

(x-1)(x+2)

x+1

，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∵函数f（x）在区间（k，k+

1

2

）上不是单调函数，∴

-1＜k＜1 k+ 1 2 ＞1

解得

1

2

＜k＜1．
故选择：C．

点评：本题考查了函数的单调性，运用了等价转化思想，属于基础题．