Question

已知函数f(x)=x+

m

x

+2（m为实常数）．
（1）若函数y=f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为

2

，求实数m的值；
（2）若函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[

1

2

 ， 1]有解，求k的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,奇偶性与单调性的综合,两点间的距离公式

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用两点的距离公式表示PQ，然后利用基本不等式求出最值，建立方程，可求出实数m的值；
（2）任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，利用函数单调性的定义可知f（x₂）-f（x₁）＞0在区间[2，+∞）上恒成立，从而求出实数m的取值范围；
（3）将不等式f（x）≤kx中的k分离出来，然后利用二次函数的性质研究不等式另一侧函数在[

1

2

，1]上的最小值，从而求出k的取值范围．

解答： 解：（1）设P（x，y），则y=x+

m

x

+2，
|PQ|2=x2+(y-2)2=x2+(x+

m

x

)2=2x2+

m2

x2

+2m≥2

2

|m|+2m=2，
当m＞0时，解得m=

2

-1；当m＜0时，解得m=-

2

-1，
∴m=

2

-1或m=-

2

-1．  
（2）由题意，任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=x2+

m

x2

+2-(x1+

m

x1

+2)=(x2-x1)•

x1x2-m

x1x2

＞0，
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以x₁x₂-m＞0，即m＜x₁x₂，
由x₂＞x₁≥2，得x₁x₂＞4，所以m≤4．
∴m的取值范围是（-∞，4]；      
（3）由f（x）≤kx，得x+

m

x

+2≤kx，
∵x∈[

1

2

 ， 1]，∴k≥

m

x2

+

2

x

+1，
令t=

1

x

，则t∈[1，2]，所以k≥mt²+2t+1，令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，
于是，要使原不等式在x∈[

1

2

 ， 1]有解，当且仅当k≥g（t）_min（t∈[1，2]）．
∵m＜0，
∴g(t)=m(t+

1

m

)2+1-

1

m

图象开口向下，对称轴为直线t=-

1

m

＞0，
∵t∈[1，2]，
∴当0＜-

1

m

≤

3

2

，即m≤-

2

3

时，g（t）_min=g（2）=4m+5；
当-

1

m

＞

3

2

，即-

2

3

＜m＜0时，g（t）_min=g（1）=m+3，
综上，当m≤-

2

3

时，k∈[4m+5，+∞）；
当-

2

3

＜m＜0时，k∈[m+3，+∞）．

点评：本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用，以及两点的距离公式，其他不等式的解法，同时考查了运算求解的能力和转化的思想，属于难题．