Question

18．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}+m\;-1，x≥0\\ ax+b，x＜0\end{array}\right.$其中m＜-1，对于任意x₁∈R且x₁≠0，均存在唯一实数x₂，使得f（x₂）=f（x₁），且x₁≠x₂，若|f（x）|=f（m）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-1，0）
• C． （-2，-1）∪（-1，0）
• D． （-2，-1）

Answer 1

分析 根据f（x）在[0，+∞）上的单调性和值域结合函数性质判断f（x）在（-∞，0）上的单调性和值域，得出a，b，m的关系，根据|f（x）|=f（m）有4个不相等的实数根可知0＜f（m）＜f（0），解出m即可．

解答 解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），
∵对于任意x₁∈R且x₁≠0，均存在唯一实数x₂，使得f（x₂）=f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），
∴a＜0，b=m．
∵|f（x）|=f（m）有4个不相等的实数根，
∴0＜f（m）＜-m，又m＜-1，
∴0＜am+b＜-m，即0＜（a+1）m＜-m，
∴-2＜a＜-1．
故选D．

点评 本题考查了函数的性质应用，函数图象的意义，属于中档题．