Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别是棱A₁B₁、AA₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：BF⊥平面ADE；
（2）是否存在过E、M两点且与平面BFD₁平行的平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明△ABF≌△A₁AE，推出AE⊥BF．然后证明AD⊥BF，利用在与平面垂直的判定定理证明BF⊥平面ADE．
（2）设点N在棱BB₁上，且B₁N=

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BB₁，连接ME、NE、MN，则平面EMN∥平面BFD₁．证明EN∥A₁H，EN∥BF．证明EN∥平面BFD₁．MN∥平面BFD₁．然后证明平面EMN∥平面BFD₁．

解答： （1）证明：在正方形ABB₁A₁中，E、F分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，
∴△ABF≌△A₁AE，∴∠ABF=∠A₁AE．∴∠A₁AE+∠AFB=∠ABF+∠AFB=90°，∴AE⊥BF．在正方体ABCD_-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面ABB₁A₁，BF?平面ABB₁A₁，
∴AD⊥BF．∵AE∩AD=A，∴BF⊥平面ADE．
（2）解：如答图，设点N在棱BB₁上，且B₁N=

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BB₁，连接ME、NE、MN，则平面EMN∥平面BFD₁．证明如下：取BB₁的中点H，连接A₁H、C₁H．
∵E、N分别是A₁B₁、B₁H的中点，∴EN∥A₁H．∵A₁F∥HB，且A₁F=HB，
∴四边形A₁FBH是平行四边形．∴A₁H∥BF．∴EN∥BF．
∵EN?平面BFD₁，BF?平面BFD₁，∴EN∥平面BFD₁．
同理MN∥平面BFD₁．又MN∩EN=N，∴平面EMN∥平面BFD₁．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，平面与平面平行的判定定理的证明，考查空间想象能力逻辑推理能力．