Question

己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为

3

2

（Ⅰ）求长方体体积的最大值；
（Ⅱ）设

m

=（1，3，

6

），

n

=（a，b，c），求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

考点：柯西不等式,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,不等式

分析：（1）由题意可知 a＞0，b＞0，c＞0且a²+b²+c²=9，利用基本不等式求得 abc≤3

3

，从而求得长方体体积的最大值．
（2）

m

•

n

=a+3b+

6

c，根据柯西不等式，有(a2+b2+c2)(12+32+(

6

)2)≥(a+3b+

6

c)2，即a+3b+

6

c≤12，从而得到

m

•

n

的最大值．

解答： 解：（1）由题意可知 a＞0，b＞0，c＞0且a²+b²+c²=9，
由三个正数的基本不等式可得 a2+b2+c2≥3

3	a2b2c2

=3(abc)

2

3

，
即 abc≤3

3

，当且仅当a=b=c=

3

时，取等号，
所以长方体体积的最大值V=3

3

．
（2）

m

•

n

=a+3b+

6

c，根据柯西不等式，有(a2+b2+c2)(12+32+(

6

)2)≥(a+3b+

6

c)2，故有 a+3b+

6

c≤12，
当且仅当“

a

1

=

b

3

=

c

6

”即“a=

3

4

，b=

9

4

，c=

3 6

4

”时，

m

•

n

=a+3b+

6

c取得最大值12．

点评：本题主要考查基本不等式、柯西不等式的应用，两个向量的数量积公式，属于基础题．