Question

（1）若函数f（x）=2x²-ax-1在（0，1）内存在x₀，使得f（x₀）=0，求a的取值范围．
（2）方程mx²+2（m+3）x+2m+14=0有两相异实根，一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令f（x₀）=0，解出a=2x₀-

1

x0

，x₀∈（0，1），令g（x）=2x-

1

x

，求出函数g（x）的值域，从而得出a的范围；
（2）构造函数f（x）=mx²+2（m+3）x+2m+14，利用一根大于4，一根小于4，根据二次函数的性质建立不等式，解不等式即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x₀）=0，
∴a=2x₀-

1

x0

，x₀∈（0，1），
令g（x）=2x-

1

x

，（x∈（0，1）），
∴g′（x）=2+

1

x2

＞0，
∴g（x）在（0，1）递增，
∴g（x）＜1，
∴a＜1．
（2）构造函数f（x）=mx²+2（m+3）x+2m+14，
∵一根大于4，一根小于4，
∴mf（4）＜0，
∴m（26m+38）＜0，
∴-

19

13

＜m＜0．

点评：本题考查方程根的研究，考查函数与方程思想，解题的关键是建立函数，用函数思想解决方程问题．