Question

1．已知α，β均为锐角，sinα=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$，求（1）sinβ，（2）tan（2α+β）

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sin（α+β）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．
（2）由（1）可求tanα，tan（α+β），进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵α均为锐角，sinα=$\frac{5}{13}$，得cosα=$\frac{12}{13}$，
又∵α+β∈（0，π），cos（α+β）=$\frac{3}{5}$，可得：sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，-----------（3分）
∴sinβ=sin（α+β-α）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$-$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{33}{65}$…6分
（2）∵tanα=$\frac{5}{12}$，tan（α+β）=$\frac{4}{3}$，…9分
∴tan（2α+β）=$\frac{tanα+tan（α+β）}{1-tanαtan（α+β）}$=$\frac{\frac{5}{12}+\frac{4}{3}}{1-\frac{5}{12}×\frac{4}{3}}$=$\frac{63}{16}$…12分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．