Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，其中|$\overrightarrow{a}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根据两向量垂直，其数量积为0，列出方程求出夹角的余弦值，即可得出夹角的大小．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，
且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即${（\sqrt{2}）}^{2}$-$\sqrt{2}$×2×cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
即向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{π}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的夹角以及数量积公式的计算问题，是基础题目．