Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点A（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点M、N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△AMN的面积．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，则a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2，即可求得椭圆的标准方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=-$\frac{2}{3}$，利用弦长公式，即可求得则S_△AMN=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，则a=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2．
椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得3x²-4x-2=0．
∴△＞0恒成立．
由根与系数的关系，得x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=-$\frac{2}{3}$，
S_△AMN=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{10}}{3}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
∴△AMN的面积$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，属于中档题．