Question

13．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求点M到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）设PB的中点为Q，连接AQ，NQ，由三角形中位线定理结合已知可得四边形AMNQ为平行四边形，得到MN∥AQ．再由线面平行的判定可得MN∥平面PAB；
（2）在Rt△PAB，Rt△PAC中，由已知求解直角三角形可得PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$，进一步得到S_△PBC．然后利用等积法求得点M到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：设PB的中点为Q，连接AQ，NQ；
∵N为PC的中点，Q为PB的中点，∴QN∥BC且QN=$\frac{1}{2}$BC=2，
又∵AM=2MD，AD=3，∴AM=$\frac{2}{3}$AD=2 且AM∥BC，
∴QN∥AM且QN=AM，
∴四边形AMNQ为平行四边形，
∴MN∥AQ．
又∵AQ?平面PAB，MN?平面PAB，
∴MN∥平面PAB；
（2）解：在Rt△PAB，Rt△PAC中，PA=4，AB=AC=3，
∴PB=PC=5，又BC=4，取BC中点E，连接PE，则PE⊥BC，且PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$×BC×PE=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{21}$=2$\sqrt{21}$．
设点M到平面PBC的距离为h，则V_M-PBC=$\frac{1}{3}$×S_△PBC×h=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$h．
又V_M-PBC=V_P-MBC=V_P-DBC$\frac{1}{3}$×S_△ABC×PA=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{5}$×4=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
即$\frac{2\sqrt{21}}{3}$h=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，得h=$\frac{4\sqrt{105}}{21}$．
∴点M到平面PBC的距离为为$\frac{4\sqrt{105}}{21}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．