Question

10．已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-a₁，n∈N^*．
（Ⅰ）若a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对于正整数m，p，q（m＜p＜q），5a_m，a_p，a_q这三项经过适当的排序后能构成等差数列，试用m表示p和q；
（Ⅲ）已知数列{t_n}，{r_n}满足|t_n|=|r_n|=a_n，数列{t_n}，{r_n}的前100项和分别为T₁₀₀，R₁₀₀，且T₁₀₀=R₁₀₀，试问：是否对于任意的正整数k（1≤k≤100）均有t_k=r_k成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${S_n}=2{a_n}-{a_1}，n∈{N^*}$，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，整理得a_n=2a_n-1，利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{a_n}是公比为2的等比数列．对5a_m为a_p，a_q三项的顺序分类讨论，利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．
（III）由${a_n}={a_1}•{2^{n-1}}$，得$|{t_n}|=|{r_n}|={a_1}•{2^{n-1}}$，可得：t₁₀₀=r₁₀₀或t₁₀₀=-r₁₀₀，若t₁₀₀=-r₁₀₀，不妨设t₁₀₀＞0，r₁₀₀＜0，则${T_{100}}={t_1}+{t_2}+…+{t_{99}}+{t_{100}}≥-{a_1}-{a_1}•2-{a_1}•{2^2}-…-{a_1}•{2^{98}}+{a_1}•{2^{99}}$=a₁．则${R_{100}}={r_1}+{r_2}+…+{r_{99}}+{r_{100}}≤{a_1}+{a_1}•2+{a_1}•{2^2}+…+{a_1}•{2^{98}}-{a_1}•{2^{99}}$=-a₁．
由已知a₁＞0，∴R₁₀₀＜T₁₀₀，与已知不符，因此t₁₀₀=r₁₀₀，同理可得R₉₉=T₉₉，如此下去，t₉₈=r₉₈，…，t₁=r₁，．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}=2{a_n}-{a_1}，n∈{N^*}$，∴S_n-1=2a_n-1-a₁，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-a₁）-（2a_n-1-a₁），整理得a_n=2a_n-1，
又a_n＞0，∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=2，数列{a_n}是公比为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式${a_n}={2^{n-1}}$． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{a_n}是公比为2的等比数列．
①若5a_m为a_p，a_q的等差中项，则2×5a_m=a_p+a_q，
∴$2×5{a_1}{2^{m-1}}={a_1}{2^{p-1}}+{a_1}{2^{q-1}}$，化为2^p-m-1+2^q-m-1=5，
又m＜p＜q，m，p，q∈N^*，∴2^p-m-1=1，2^q-m-1=4，
∴p-m-1=0，q-m-1=2．即p=m+1，q=m+3．
②若a_p为5a_m，a_q的等差中项，则2a_p=5a_m+a_q，
∴$2{a_1}{2^{p-1}}=5{a_1}{2^{m-1}}+{a_1}{2^{p-1}}$，∴2^p=5×2^m-1+2^q-1，
∴2^p-m+1-2^q-m=5，等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立，舍去．
③若a_q为5a_m，a_p的等差中项，则2a_q=5a_m+a_p，同理也不成立．
综上，p=m+1，q=m+3．      
（Ⅲ）由${a_n}={a_1}•{2^{n-1}}$，得$|{t_n}|=|{r_n}|={a_1}•{2^{n-1}}$，
∴t₁₀₀=r₁₀₀或t₁₀₀=-r₁₀₀，
若t₁₀₀=-r₁₀₀，不妨设t₁₀₀＞0，r₁₀₀＜0，
则${T_{100}}={t_1}+{t_2}+…+{t_{99}}+{t_{100}}≥-{a_1}-{a_1}•2-{a_1}•{2^2}-…-{a_1}•{2^{98}}+{a_1}•{2^{99}}$=$-{a_1}（1+2+{2^2}+…+{2^{98}}）+{a_1}•{2^{99}}=-{a_1}×\frac{{1-{2^{99}}}}{1-2}+{a_1}•{2^{99}}={a_1}$．
则${R_{100}}={r_1}+{r_2}+…+{r_{99}}+{r_{100}}≤{a_1}+{a_1}•2+{a_1}•{2^2}+…+{a_1}•{2^{98}}-{a_1}•{2^{99}}$=${a_1}（1+2+{2^2}+…+{2^{98}}）-{a_1}•{2^{99}}={a_1}×\frac{{1-{2^{99}}}}{1-2}-{a_1}•{2^{99}}=-{a_1}$．  
由已知a₁＞0，∴R₁₀₀＜T₁₀₀，与已知不符，∴t₁₀₀=r₁₀₀，
∴R₉₉=T₉₉，同上可得t₉₉=r₉₉，
如此下去，t₉₈=r₉₈，…，t₁=r₁，
即对于任意的正整数k（1≤k≤100），均有t_k=r_k成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．