Question

13．已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的极值点，求f（x）在[-1，a]上的最大值和最小值．
（2）若f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f′（-$\frac{1}{3}$）=3×$\frac{1}{9}$+2a×$\frac{1}{3}$-3=0，得a=4，f（x）=x³-4x²-12，f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）=0，解得x=-$\frac{1}{3}$，3，讨论定义域内各区间导数的符号，从而确定最值．
（2）f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，则f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立，即a$≤\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$在[1，+∞）恒成立，a$≤[\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）]_{min}$即可

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，x=-$\frac{1}{3}$是f（x）的极值点，则f′（-$\frac{1}{3}$）=3×$\frac{1}{9}$+2a×$\frac{1}{3}$-3=0，
解得a=4，f（x）=x³-4x²-12，f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）=0，解得x=-$\frac{1}{3}$，3，
x，f（x），f′（x）变化如下表：

x	-1	（-1-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}，3$）	3	（3，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	增函数	$\frac{14}{27}$	减函数	-18	增函数	-12

所以f（x）_max=f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{14}{27}$，f（x）_min=f（3）=18
（2）函数f（x）=x³-ax²-3x求导得f′（x）=3x²-2ax-3，
f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，则f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立，
即a$≤\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）$在[1，+∞）恒成立，a$≤[\frac{3}{2}（x-\frac{1}{x}）]_{min}$，y=x-$\frac{1}{x}$在[1，+∞）为增函数，则（x-$\frac{1}{x}$）_min=0
∴a≤0，∴实数a的取值范围为（-∞，0]

点评 本题考查了导数的应用，利用导数求极值、单调性、最值，属于中档题．