Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADMN是矩形，平面ADMN⊥平面ABCD，∠DAB=

π

3

，AD=2，AM=1，E是AB的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥NC；
（Ⅱ）求三棱锥E-MDC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明DE⊥DC，ND⊥DE，可得DE⊥平面NDC，即可证明DE⊥NC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD，利用V_E-MDC=V_M-EDC，可得结论．

解答： （Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=

3

．
∴AD²=AE²+DE²，即∠AED=90°，∵AB∥DC，∴DE⊥DC   …①…（2分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND?平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE?平面ABCD，∴ND⊥DE  …②…（4分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC，…（6分）
∴DE⊥NC．  …（8分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD．
∴V_E-MDC=V_M-EDC=

1

3

SEDC•MA=

1

3

×

1

2

×2×

3

×1=

3

3

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥E-MDC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．