Question

18．已知数列{a_n}满足$2{a_{n+1}}+{a_n}=3（{n∈{N^*}}）$，且a₁=4，其前n项和为S_n，则满足不等式$|{{S_n}-n-2}|＜\frac{1}{30}$的最小整数n是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 数列{a_n}满足$2{a_{n+1}}+{a_n}=3（{n∈{N^*}}）$，且a₁=4，变形为：a_n+1-1=$-\frac{1}{2}（{a}_{n}-1）$，a₁-2=2．利用等比数列的通项公式可得a_n．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足$2{a_{n+1}}+{a_n}=3（{n∈{N^*}}）$，且a₁=4，
变形为：a_n+1-1=$-\frac{1}{2}（{a}_{n}-1）$，a₁-2=2．
∴数列{a_n-1}是等比数列，公比为-$\frac{1}{2}$，首项为3．
∴a_n-1=$3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，即a_n=1+$3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴其前n项和为S_n=n+3×$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=n+2-2×$（-\frac{1}{2}）^{n}$．
不等式$|{{S_n}-n-2}|＜\frac{1}{30}$化为：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$$＜\frac{1}{30}$，
则满足不等式$|{{S_n}-n-2}|＜\frac{1}{30}$的最小整数n是6．
故选：B．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．