Question

10．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$椭圆方程+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，P在椭圆上移动，△PF₁F₂面积最大值为$\sqrt{3}$（F₁为左焦点，F₂为右焦点）
（1）求椭圆方程；
（2）若A₂（a，0），直线l过F₁与椭圆交于M，N，求直线MN的方程，使△MA₂N的面积最大．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}×2c×b=\sqrt{3}\\ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}\end{array}\right.$，解得a²，b²的值，可得椭圆方程；
（2）由（1）可得A₂（2，0），F₁（-$\sqrt{3}$，0），分MN的斜率不存在和MN的斜率存在两种情况，分析△MA₂N的面积最大值，及相应的k值，可得答案．

解答 解：（1）由已知可得：
$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}×2c×b=\sqrt{3}\\ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=4\\{b}^{2}=1\\{c}^{2}=3\end{array}\right.$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$…（5分）；
（2）由（1）可得：A₂（2，0），F₁（-$\sqrt{3}$，0），
当MN的斜率不存在时，
|MN|=1，△MA₂N的面积S=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
当MN的斜率存在时，设MN的方程为：y=k（x+$\sqrt{3}$），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：（${k}^{2}+\frac{1}{4}$）x²+$2\sqrt{3}{k}^{2}$x+3k²-1=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则：
则x₁+x₂=$\frac{-2\sqrt{3}{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$…（8分）；
|y₁-y₂|=|k（x₁+$\sqrt{3}$）-k（x₂+$\sqrt{3}$）|=|k||x₁-x₂|=|k|$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\left|k\right|\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$，
令t=${k}^{2}+\frac{1}{4}$，（t≥$\frac{1}{4}$），
则|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{（t-\frac{1}{4}）（t+\frac{3}{4}）}}{t}$=$\sqrt{-\frac{3}{16}（\frac{1}{t}）^{2}+\frac{1}{2}•\frac{1}{t}+1}$，
令u=$\frac{1}{t}$，则u∈（0，4]
则当u=$\frac{4}{3}$时，|y₁-y₂|取最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＞1，此时k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此时△MA₂N的面积取最大值1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此时MN的方程为：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，分类讨论思想，难度中档．